[Counting Sort, Radix Sort] 計數排序, 基數排序

 Counting Sort是一種效率很高的排序方式，複雜度為$\ord{n+k}$，其中$k$是Bucket的大小，由此可知僅限於整數且數字範圍不能太大。根據觀察在很多應用中會有對物件以編號大小進行排序的行為，在這方面應該能做到很大的加速。

另外一個問題是Counting Sort雖然簡單，很多人甚至可以自己想到實作方法，但這也導致了標準的作法常常被人忽略。因此這裡就來給大家展示標準的Counting sort：

參數的解釋如下：

• First, Last:
  和std::sort的定義一樣，需要排序的範圍，注意不一定要是random access iterator。
• BucketFirst, BucketLast:
  Counting Sort正統的實作方式會有一個正整數陣列作為Bucket，考量到各種應用所以這裡接傳Bucket的範圍進來能做的優化會比較多，必須要是random access iterator。
• OutputFirst:
  Counting Sort的output是直接將input存到另一個陣列中，因此OutputFirst指的是Output陣列的開頭，必須要是random access iteator，且要注意output的空間是足夠的。這邊將input存進output時是用std::move的方式，如果想要保留原本input的話可以將其拿掉。
• Key:
  這是一個函數，Key(x)必須要回傳一個0~(BucketLast-BucketFirst-1)的正整數作為被排序物件x的關鍵值。

有了Counting sort，Radix Sort就比較好解釋了。首先正統的Counting sort是stable sort，所以Key值相同的東西排序前後的先後順序是不變的。因此可以透過多次的Counting Sort來完成一些原本Counting Sort無法完成的事情。

以整數(int, -2147483648~2147483647)排序為例，可以先針對第十億位做為Key進行排序，接著再對第一億位做為Key、第一千萬位做為Key...直到十位數、個位數作為Key，最後再以正負號最為Key進行排序，這樣就可以完成一般範圍的整數排序。

實際上一般不會這樣用，通常是用在有多個Key值的情況，以下面的程式碼來說，可以自行執行看看花費的時間有多少：

[Discretizer] 離散化器

離散化是演算法競賽常用的操作，在各種實際問題上也能看到其應用。最基本的情況，是對於n個可排序的元素，製造一個map使得它們可以和自己的名次一一對應，但通常的應用中這n個元素確定之後就不太會有增減的動作，因此可以存到vector中排序去除重複的部分，搜索的部分就用二分搜尋來取代。

[Multiple line segment intersection] Bentley–Ottmann 演算法

 基本上這個問題就是給你一些線段(格式通常為兩個端點)，你要找出這些線段的交點。直觀的做法兩兩進行計算會花上$\ord{n^2}$的時間，但大多數的情況下交點不會很多。為了解決這個問題，修改自Shamos–Hoey演算法的Bentley–Ottmann演算法可以在$\ord{(n+k)\log n}$的時間內找出所有交點，其中$k$是交點數量。

這裡附上實作時需要用到的基本資料結構：

演算法使用掃描線進行。掃描線是一條垂直線從左邊掃到右邊(有些實作是水平線從上面掃到下面)，並且在遇到事件點的時候進行相關處理。

線段的兩端點以及交點都作為事件點被紀錄在最終結果中。對於每個事件點$P$，我們會計算三個集合：

• U集合：所有以$P$為起始點的線段集合
• C集合：所有包含$P$的線段集合
• L集合：所有以$P$為結束點的線段集合

當然要先保證每條線段的起始點移動會在結束點的左方，只要得到線段後稍微判斷一下就可以做到了。每個事件點找出這三個集合後就可以很容易的判斷相交資訊，但要注意的是會有以下的退化情形：

• 線段退化成點：這種情況該點的U和L都會包含該線段。
• 兩線段重合：只有重合處的兩端點會被紀錄為事件點，可以根據UCL判斷出是否線段重合
• 垂直線段：排序點和線段時如果x一樣就按照y來比較
  

最後是掃描線的資料結構，需要一棵平衡的BST根據當前掃描線和各個線段切點的y值進行排序，但這件事是可以用STL做到的！我們把當前事件點傳進比較函數裡面進行計算，因為在任何一個時刻BST中的資料都是根據當前的比較函數由小排到大的，應該不算undefined behavior。另外該演算法的浮點數誤差很大，建議使用時套上處理誤差的模板或是直接用分數計算：

最後是測試的部分，以下圖做為測試範例：

將該圖轉換成我們接受的input如下：

10

-2 7 2 0

-2 7 -2 0

-2 6 2 5

-2 6 2 2

-2 4 2 7

-2 4 2 2

-2 4 4 1

-2 0 2 2

0 1 0 1

0 3 4 1

最後附上測試程式碼，需要的話可以自己執行看看：