[ scapegoat tree ] 替罪羊樹

替罪羊樹論文其中一個作者，Ronald Linn Rivest，同時也是RSA加密算法的R
替罪羊樹是一種不需要旋轉的平衡樹，它會要求使用者給定一個\(\alpha\)值，其值介於0.5到1之間，\(\alpha\)越大，插入就越快，查詢就越慢，實驗發現\(\alpha\)介於0.55~0.75是最佳的，但是具體的值要看使用者的要求
其平衡滿足:
1.
    \(\alpha*size(o) \le size(o \to left)\)
    \(\alpha*size(o) \le size(o \to right)\)
2.
    \(deep(o) \le log_{1/\alpha} (size(tree))\)
當插入節點導致條件2.不滿足時，會往上回溯到第一個不滿足的節點，然後重建這顆節點的子樹成為完美平衡的二元樹
刪除可以用一般的BST刪除法，當不滿足條件時往上回溯到最先不滿足的節點，重建子樹，也可以懶惰刪除，先設立一個標記， 要刪除這個節點就把它做記號，當\(\alpha\)*全部的節點數量>實際上存在的節點數量，就重建這顆子樹
本文提供一般刪除的方法

其實替罪羊樹的節點是不需要記錄其size的，因為若需要重建，求得size的時間複雜度與重建的時間複雜度相等，這裡為了支援其它有如rank等操作才將size域附加在節點中

插入刪除的均攤時間複雜度為\(\ord{logN}\)，相較之下朝鮮樹只是他的劣質仿冒品，其複雜度證明請參考此論文

以下為模板:

這裡也提供不需要記錄節點大小(size)的平衡方式，相對的一些需要用到附加size域的函數將不能被使用，但插入刪除的效率不變


如果編譯發現沒有__lg()這個函數的話，請在程式碼開頭附上這份code:

[ korea tree ] 朝鮮樹

某天albus YY出來了一個沒有旋轉操作的平衡樹，由於albus的真名(华中科技大学附属中学 金正中)聽起來很像朝鮮主席，所以就叫朝鮮樹了！

朝鮮樹是一種不需旋轉的 自平衡二元搜尋樹，利用當深度大於max_deep(通常取sqrt(N))時暴力重建的方式讓平均時間為\(\ord{N*sqrt(N)}\)，是一種很糟糕的平衡樹，但是我們還是要理解他，因為這樣暴力重建的概念會在其他樹上用到。
若題目的要求數據量<=500000時可以使用

所有操作都與本篇其他樹差不多只多了個rebuild函數，它會暴力將整顆樹重建成深度logN的平衡樹

對於重建的部分則使用了拍扁重建法，將樹先拍扁成鍊表後重建，只需要花費\(\ord 1\)的空間複雜度

以下提供模板:

[ Splay Tree ] 伸展樹模板

最近研究了伸展樹，它可以在均攤\(\ord{logN}\)的時間完成伸展操作，所謂的伸展操作就是將某個節點旋轉(rotate)到根(root)的過程，因為我們大部分在搜尋資料時，常常都只會用到特定的資料，其他大多數的資料是較少被搜尋的，因此將常被搜尋的資料靠近根是很好的策略，伸展樹由此被發明。
因為伸展樹可以分裂合併，所以可以取代分裂合併式treap或是分裂合併式randomize binary tree的功能，可以在競賽中被使用，而普通的伸展樹效率不高，故本文只介紹作區間處理的伸展樹
之後的link-cut tree會用到他，所以必須要能理解
例題: UVA 11922

定義伸展樹節點:(T為資料型態)

初始化時nil的l,r要指向自己

旋轉(跟其他樹差不多)
d=0左旋,1右旋

接下來是最重要的伸展操作
這是按劉汝佳在橘色那本書的寫法實現的
主要是將第k個節點伸展到root的過程
注意!! k必須大於0

有了splay操作，接下來是分裂&合併

當我們要維護一個區間1~n時，可以建立0~n的splay tree，0是廢棄節點，較為方便使用

最後提供新增節點的方法:

這樣所有的操作就齊全了
剩下的一些懶惰標記跟treap一樣，可以做區間翻轉和線段樹的功能
但是請小心指標的使用
(nil為衛兵指標，方便用來編輯，若不想用可以將程式碼略為修改)

[ Big Interger ] 大數模板

今天在家裡寫了一整天的大數，好不容易加減乘除都有了，但是乘法的部分FFT還不會寫所以先用做基本的n^2乘法(聽說有一個奇怪的方法叫做Karatsuba演算法也能做大數乘法，還蠻快的)

定義一個大數:
bigN a;//定義大數

以下是大數模板:

[ AVL Tree ] 優化AVL樹

AVL樹是以子樹的高度做為平衡的條件
其平衡條件為:
     左子樹的高度與右子樹的高度差不能超過1

因為每次的插入及刪除都有可能壞平衡，所以必須要進行旋轉來修正其平衡性。
共有4種旋轉方法，一序為 : 左左、左右、右右、右左，若想知道關於如何進行平衡的介紹請點擊這裡，其插入刪除常數較大，故其平均效率比Size Balanced Tree要差。

因為在網路上看到很多的AVL樹，其寫法都過於冗長，所以我這邊發一個AVL樹的模板，其code複雜度跟Size Balanced Tree差不多。
主要是將相同的平衡操作合併成一個balanced()函數，插入和刪除完後呼叫即可。

以下為模板:

Treap 模板

這是 旋轉式Treap 的模板，是目前所有平衡樹中code最為簡便的一種。
插入和刪除的時間複雜度跟Randomized binary search tree一樣，是在演算法競賽中最適合使用的平衡樹。
因為 分裂/合併式 Treap 可以完全被 分裂/合併式 Randomized binary search tree取代，故不提供

做法1，完全依靠旋轉進行平衡(刪除速度較慢):

作法2，刪除時合併左右子樹(刪除速度較快):

[ 線性同餘方法 ] 亂數產生器 實做

今天來講幾個簡單的亂數產生方法
主要是利用線性同餘方法來處理的

它的首要條件便是必須符合平均分配率Uniform distribution，也就是在$0 \sim m-1$之間的每個數字, 出現的機率必須相等。
Linear Congruential Method雖是常用法，但也有它的條件:
$X(n+1) = (a \times X(n) + c) \%m$，其中$\%$是取餘數的意思
$X(n+1)$為新的亂數，$X(n)$為前一次產生的亂數。則各參數必須符合下列條件:

1. $c$與$m$必須互質。
2. 對於任何$m$的質因數$p$，也必須為$a-1$的質因數。
3. 若$m$為$4$的倍數，則$a-1$也必須為4的倍數。

如此才能確保產生出來的亂數符合平均分配率，同時也具有最長的重複週期。

以下是在網路上找到的一些不錯的亂數產生方法:
其中random1是Brain大神在處理randomize binary tree的亂數(0xdefaced是質數，defaced是英文單字比較好記)
random2聽說是stdlib裡面的rand()原型，而16807是7的5次方，random2可以產生較rand()大的亂數
random4不是線性同於方法，個人覺得他比較像Subtract with carry的方法
在做[分裂/合併式]randomize binary tree時，其實可以利用seed++的方式當作亂數用(連結中有教學)